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Figuras geométricas en n dimensiones con n tendiendo a infinito

13 Mayo 2012 - 18:00:08



 






UNA FORMA PRÁCTICA Y SIMPLE DE ENTENDER FIGURAS GEOMÉTRICAS REGULARES EN N
DIMENSIONES





Ronald Martínez Rodríguez





Dr. en Filosofía





¿Es posible comprender el
universo infinito con todas sus formas?





Si bien existen diferentes formas
de explicar la conformación de cuerpos regulares para varias dimensiones,
especialmente para las dimensiones que están por encima de las tres reales, no
se ha encontrado ninguna manera sencilla de hacerlo que tenga propiedades
didácticas, y que permita, sobre todo a los jóvenes, comprender diferentes
tipos de cuerpos geométricos regulares para cualquier dimensión n. Esto es lo
que se propone desarrollar aquí. Para ello se usa un poco de teoría
combinatoria, algunas expresiones algebraicas simples y esquemas de análisis.





El objetivo primario podría ser
resumido en llenar una tabla básica que contiene en las columnas a n, esto es,
la dimensión correspondiente. Se utilizan 6 dimensiones para que el cuadro sea
sencillo y manejable, pero se puede extender con los mismos métodos usados aquí
en forma indefinida. En las filas se ubican los trazos o figuras espaciales
regulares (de tal manera que la letra m se refiere a la magnitud de la figura),
esto es, líneas, cuadrados, cubos, e hipercubos. La tabla será, por tanto, de 4
por 6, indicando en cada fila la magnitud correspondiente, y en las columnas el
número de dimensión a que se refiere. Con ello quedan definidas las bases para
comprender a un nivel más o menos completo, los diversos cuerpos geométricos
que se forman de la primera a la cuarta magnitud, en el espacio de 1 a 6
dimensiones.





Se comienza con la primera línea
de la tabla, esto es la primera magnitud, que corresponde a las líneas o
aristas. Aquí estarán las líneas requeridas para cada dimensión. La fórmula
algebraica que proponemos es la siguiente:





S1(n) = 2n
n/2





Adonde el subíndice 1 denota la
primera magnitud m, esto es, la de las líneas. Definimos a la fórmula marginal
como la diferencia entre el valor de S
1(n+1) y S1(n), y
la denotamos por €(n). Así:





€1(n) = 2n (n+1)/2) –
2
n n n/2) = 2n (2(n+1)/2)-(n/2)) = 2n-1
(2n+2-n) = €1(n) = 2
n-1 (n+2)





Para el caso de la dimensión 1,
tenemos:





€1(0) = 20-1 =
(1/2)(0+2) = 1





€1(1) = 21-1 (1+2) = 3





Como S1(1) = 2n
n/2 = 2 (1/2) = 1, lo que se deduce de aquí es que, para la magnitud 1, o sea,
la líneal, existe la línea en la dimensión 1, y 3 líneas más para la dimensión
2, lo que daría como resultado que los cuadrados (dimensión 2) se forman con 4
líneas. La primera de ellas pertenece a la magnitud 1, la lineal, y las 3
restantes son las definidas por la función marginal €(1) = 3, que nos daría el
total de 4 líneas que conforman un cuadrado. Se procede a calcular el resto de
las líneas para cada dimensión:





€1(2) = 22-1 (2+2) = 8





€1(3) = 23-1 (3+2) =
20





€1(4) = 24-1 (4+2) =
48





€1(5) = 25-1 (5+2) =
112





€1(6) = 26-1 (6+2) =
256





El significado es el siguiente:
se requieren 12 líneas para formar un cubo, 32 para formar un teseract o hipercubo,
80 para un penteract, 192 para un hexeract y 448 para un hepteract.





Este sistema algebraico parece
prometedor, así que pasamos a la segunda magnitud, esto es, a la de los
cuadrados como continuación de la dimensión lineal. La fórmula propuesta es la
siguiente:





S2(n) = 2n
(n/2) ((n-1)/4))





En donde el subíndice 2 denota la
segunda dimensión 2, la de los cuadrados. De nuevo, definimos la fórmula
marginal como €2(n) = S
2(n+1) menos S2(n), ahora, en la
magnitud 2. El lector puede comprobar fácilmente que:





€2(n) = 2n n/8 (n+3)





Ahora bien:





S2(1) = 21
(1/2) ((1-1)/4)) = 0





Esto significa que hay 0
cuadrados en la primera dimensión. Continuamos con la segunda dimensión usando
la función marginal.





€2(1) = 21 (1)/8 (1+3)
= 1





Lo que significa que se forma un cuadrado
en la magnitud 2, de los cuadrados, en la dimensión 2 (la dimensión plana).





Si se quiere saber cuántos
cuadrados se formarán en la dimensión 3 se calcula €(2):





€2(2) = 22(2)/8 (2+3)
= 5





Lo que significa que habrá 6
cuadrados en la dimensión 3, esto es, la de los cubos. En otras palabras, esto
nos dice que los cubos tienen 6 cuadrados.





Ahora se puede preguntar cuántos
cuadrados tiene un teseract, esto es, el análogo al cubo en la cuarta
dimensión:





€2(3) = 23(3)/8 (3+3)
= (24/8)(6) = 18





Lo que significa que hay 24
cuadrados en un teseract. Se continúa con el resto de las dimensiones:





€2(4) = 24(4)/8 (4+3)
= 56





€2(5) = 25(5)/8 (5+3)
= 160





€2(6) = 26(6)/8 (6+3)
= 432





La interpretación se deja al
lector.





Se continúa con la tercera
magnitud m, esto es, la de los cubos. La función propuesta, que el lector
atento podría imaginar es:





S3(n) = 2n
(n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6))





La función marginal sería:





€3(n) = 2nn/48
(n-1)(n+4)





Por consiguiente, se puede
calcular fácilmente el número de cubos en las 5 dimensiones, así:





€3(1) = 21(1)/48
(1-1)(1+4) = 0





€3(2) = 22(2)/48
(2-1)(2+4) = 1





€3(3) = 23(3)/48
(3-1)(3+4) = 7





}}}€3(4) = 24(4)/48
(4-1)(4+4) = 32





De manera que un cubo se forma en
la tercera dimensión, se requieren 8 cubos para formar un teseract, y hay 40
cubos en un penteract, esto es, el análogo del teseract en quinta dimensión, o
sea, un hipercubo en quinta dimensión.





€3(5) = 25(5)/48
(5-1)(5+4) = 120





€3(6) = 26(6)/48
(6-1)(6+4) = 400





Esto es, hay 160 cubos en un
hexeract, y 560 cubos en un hepteract.





Ahora se abre la posibilidad de
enfrentarse al teseract o hipercubo, esa famosa y extraña figura que es el
equivalente al cubo en la cuarta dimensión. Si se estira un cubo hacia arriba,
saliendo por una de sus aristas, se nos formará la versión aplanada en la
tercera dimensión de un teseract. Con un poco de imaginación se podrá
visualizar que se compone de 8 cubos, el inicial, el final, y los 6 que se
forman saliendo por cada uno de los lados o cuadrados que conforman el cubo.
Hagamos un paréntesis para comprender un poco más el teseract, puesto que es la
figura imaginaria que se acomoda mejor a la comprensión de nuestros sentidos,
diseñados para el nivel tridimensional, y no para comprender el nivel de cuatro
dimensiones, que de alguna manera aparece como contraintuitivo, puesto que
nosotros vivimos en un mundo aparente de tercera dimensión, si bien a partir de
esta misma lectura se puede hipotetizar que la cuarta dimensión es el tiempo,
por lo que los teseracts serían parte normal de nuestro mundo real aunque no
acabemos del todo de comprenderlos, ni podamos mirarlos directamente, por una
cuestión puramente de perspectiva.





Por lo tanto, se procede a
intentar representar el teseract en un mundo tridimensional. Esto tiene una
gran importancia práctica puesto que hay controversia sobre si se ha podido
comprender plenamente el significado y forma de un teseract, o si se trata de
una cuestión puramente imaginaria.





La hipótesis implícita es que el
teseract es un objeto difícil de imaginar, pero posible de representar en forma
simple. Vamos a representar el teseract en una sola tabla plana de 12 por 12 y
con el uso de símbolos que representan, cada uno, un cubo o habitación.





 






 






 






 






 






 






 






 






TABLA PARA REPRESENTAR EL TESERACT APLANADO





Ö  ©  Ö  ©  Ö  ©  Ö  ©   Ö  ©  Ö  ©





8   k   p   µ   8   k   p   µ   8   k    p  µ





Ö    §   ©   Ö   §   ©   Ö    §  ©





p   µ   p   µ    p  µ  p   µ    p   µ  p  µ





Ö  ©  Ö  ©   Ö  © Ö  ©   Ö  ©  Ö ©





8   k   p   µ    8   k  p  µ    8   k   p  µ





Ö    §   ©   Ö    § ©    Ö   §  ©





p   µ   p   µ    p   µ  p µ     p   µ  p  µ





Ö  ©  Ö  ©   Ö  ©  Ö ©   Ö  © Ö ©





8   k    p   µ   8   k   p   µ   8  k  p  µ





Ö     §  ©   Ö    §   ©  Ö   §  ©





p   µ    p  µ   p   µ   p   µ   p   µ  p  µ





Se usan símbolos en negro para
poder hacer la representación aquí, si bien lo más recomendable sería asignar
un color o una figura a cada cubo o habitación. De paso, se puede decir que
esta representación podría tener cierto valor estético, o para la arquitectura.





La estructura contiene 8 cubos
distintos que forman un teseract, estableciendo las conexiones entre las
habitaciones en forma clara y contundente. De hecho, se trata de un mosaico de
9 cuadrantes de 4 por 4 habitaciones. Los colores y símbolos son completamente
intercambiables entre sí, mientras se respete la estructura general.





En suma: la tabla permite
comprender al teseract en forma fácil y bajo una perspectiva plana. Regresando
al cuerpo principal del presente trabajo, podemos ahora estudiar las primeras 6
dimensiones del teseract. Como habrán imaginado la fórmula inicial será:





S4(n) = 2n
(n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8))





Donde el subíndice 4 denota la
cuarta magnitud m, esto es, la de los teseracts. La función marginal que se
deriva de aquí es:





€4(n) = (2nn/384)
(n-1)(n-2)(n+5)





Por consiguiente, se puede
calcular fácilmente el número de teseracts en las 6 dimensiones, así:





€4(1) = (21(1)/384)
(1-1)(1-2)(1+5) = 0





€4(2) = (22(2)/384)
(2-1)(2-2)(2+5) = 0





€4(3) = (23(3)/384)
(3-1)(3-2)(3+5) = 1





€4(4) = (24(4)/384)
(4-1)(4-2)(4+5) = 9





€4(5) = (25(5)/384)
(5-1)(5-2)(5+5) = 50





€4(6) = (26(6)/384)
(6-1)(6-2)(6+5) = 220





De manera que un teseract se
forma en la cuarta dimensión, que para muchos, dicho sea de paso, representa al
tiempo, además: se requieren 10 teseracts para formar un penteract, hay 60
teseracts en un hexeract, y hay 280 teseracts en un hepteract, esto es, el
análogo del teseract en séptima dimensión, o sea, un hipercubo en séptima
dimensión.





En la explicación está implícita
la prueba matemática de las fórmulas por inducción, de una manera que parece simple
y estricta a primera vista. Si tomamos los valores específicos de €(X), donde X
es un número cualquiera, se pueden verificar las fórmulas sin ningún problema.
Además, si tomamos Sm(n) y le sumamos €m(n+1), tendremos como resultado,
necesariamente Sm(n+1). Por tanto, la prueba de las fórmulas por inducción es
estricta y completa.





Podemos intentar ahora una
generalización de las fórmulas. El número n puede ser cualquier dimensión hasta
el infinito, se comenzaría por verificar que las fórmulas Sm(n) y €m(n) también
funcionan en las siguientes dimensiones, hasta llegar a números grandes. La
prueba al infinito podría ser resuelta a través del límite de n hasta el
infinito en las respectivas funciones. Una forma más simple de hacer pruebas
generalizadas, es recurrir a la función generadora de hipercubos, que se define
como:





Sm(n) = 2n
(n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8)) ..... [((n-(m-1)/2m)]





Los términos en m representan
constantes que se definen cuando se escoge el nivel de la magnitud o figura a
considerar. También son automáticamente generados todos los números enteros que
aparecen en la fórmula. La fórmula se define para cualquier m mayor que 4, esto
es, superior al nivel de los teseract. Para los niveles de 1 a 4 se usan las
fórmulas ya descritas y que corresponden plenamente con la fórmula
generalizada.





Ahora bien, si suponemos que m es
igual a n, podemos saber cuántas figuras de la dimensión correspondiente a la
misma figura, existen para todos los hipercubos de tamaño n hasta infinito. Al
atar el símbolo m con el símbolo n podemos decir que, para todo m igual a n:





Sm(n) = 2n (n/2)
((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8)) ..... [((n-(n-1)/2n)] (para todo m = n)





Despejando tendríamos:





Sm(n) = (2n / 2n)
(n/1) ((n-1)/2)) ((n-2)/3)) ((n-3)/4)) ..... [1/n)]





Observando que la cadena de “enes”
de arriba, es idéntica a la cadena de “enes” de abajo, tenemos:





Sm(n) = (2n / 2n)
Sm(n) = 1





Esto significa, que siempre que m
sea igual a n, es decir, en el nivel de la figura correspondiente a la enésima
dimensión, sólo va a existir una figura. En otras palabras, sólo hay un
hexaract en la sexta dimensión, sólo hay un hepteract en la séptima dimensión,
y así sucesivamente hasta llegar a infinito.





Recuérdese que esta es una
función acumulativa, esto es, si hay sólo una figura para cada dimensión n
igual a m, entonces, para todo i, adonde cada i representa a un n-i menor que
n, el valor de Sm(i) será igual a cero. Probémoslo para Sm(n-1), con el fin de
tener una mayor seguridad en nuestros cálculos, puesto que al ser S una función
acumulativa, resultará evidente que el hipercubo o figura m se forma única y
exclusivamente en la dimensión n que le corresponda, puesto que hasta allí, y
desde 1 hasta n-1, no se ha acumulado ninguna figura correspondiente. Veamos:





Sm(n-1) = 2n-1
(n-1/2) ((n-2)/4)) ((n-3)/6)) ((n-4)/8)) ..... [((n-1)-(m-1)/2m)]





Ahora, recordando que m es un
número fijo que hemos supuesto igual a n:





Sm(n-1) = 2n-1
(n-1/2) ((n-2)/4)) ((n-3)/6)) ((n-4)/8)) ..... [((n-1)-(n-1)/2n)]





Lo cual es evidentemente 0 al
restar n-1 de sí mismo en el último término. Si esto le resulta oscuro,
inténtelo con las fórmulas correspondientes al cubo que ya describimos.





La “tabla” original se ha
ampliado entonces para permitirnos concluir que debajo de la diagonal siempre
tendremos ceros, y en la diagonal principal, en que m es igual a n, tendremos
un 1. El resto de los cálculos para llenar una matriz cualquiera m por n se realizaría
a través de la fórmula general, dándole los valores respectivos a m y a n. Nos
queda, por último, el infinito. Este se ubica en el extremos inferior derecho
de una matriz infinitamente grande, lo cual podría parecer imposible de
calcular. Pero como ya sabemos que la matriz tiene unos en toda la diagonal, y
ceros abajo de la diagonal, entonces, se puede especular, con bastante
veracidad, que el valor ubicado en el punto n,m cuando n y m tienden a infinito
es de 1. Así que hay una única figura que cumple estas condiciones. Puesto que
tal figura tiene, aparentemente, infinito número de todas las figuras
inferiores, se puede fácilmente especular que se trata de una esfera n
dimensional. El cómo se vea una figura n dimensional puede ser muy misterioso,
pero el hecho claro es que no tendría ninguna irregularidad, puesto que es
perfectamente igual en todas las direcciones, de forma que si se le girara
quedaría exactamente igual y no se le podrían ver protuberancias, vértices o
esquinas en ninguna perspectiva. Eso es para mí, una imagen suficientemente
clara de una esfera n-dimensional.





En cuanto al problema de la
interpretación, cabe cuestionar sobre la existencia de las figuras en la
realidad, o de si se trata de pura especulación virtual. Al respecto, hasta el
nivel del cubo no veo ningún problema: la prueba evidente es la existencia de
la línea, el cuadrado y el cubo, y la utilidad práctica que tienen. En el nivel
de la cuarta dimensión, pareciera que el teseract se refiere al tiempo, puesto
que implica el movimiento del cubo, aunque eso tendría que argumentarse con más
cuidado. Dejo en duda, para no perder confiabilidad, la existencia o no en la
realidad del teseract, pero quisiera aclarar que si el mundo fuera
tridimensional no tendría movimiento, así que el teseract puede ser la solución
al famoso problema de la existencia del tiempo. Eso es una mera sugerencia
puesto que la prueba escapa a mis posibilidades analíticas y, sobre todo, de
abstracción (ni siquiera Kant o, más recientemente Hawking pudieron resolver
estrictamente el problema del tiempo, aquí no se pretende llegar a tales
complejidades, sino sólo plantearlas).





Por lo pronto, se denota que el
teseract aplanado en términos simbólicos puede tener valor arquitectónico y
para la comprensión de figuras en cuarta dimensión, tema que tendría que ser
analizado y verificado junto con los profesionales de la psicología, puesto que
parece algo extraño que criaturas que sólo perciben objetos tridimensionales
puedan comprender completamente un objeto en cuarta dimensión. Resulta más
asombroso aún que sea posible especular sobre una figura de dimensión infinita
como la esfera n-dimensional. En cuanto a la utilidad práctica de los
hipercubos, el teseract puede ser usado para originar funciones lógicas desde
la perspectiva de la lógica difusa. También ha sido posible modelar el código
genético con el uso de la sexta dimensión representada por el hexaract (esto lo
lograron Rubén de la Mora y Miguel Jinénez en un artículo del Instituto de
Inteligencia Artificial de la Universidad Veracruzana).





Si bien existen diferentes
planteamientos sobre cómo explicar la conformación de cuerpos regulares para
varias dimensiones no se ha encontrado, hasta ahora, ninguna forma sencilla de
hacerlo que tenga propiedades didácticas, y que permita, sobre todo a los
jóvenes, comprender diferentes tipos de cuerpos geométricos regulares para
cualquier dimensión n. Esto es lo que se propone desarrollar aquí. Para ello
basta con usar, como lo probé, un poco de teoría combinatoria, expresiones
algebraicas simples y esquemas analíticos.





Por último se aclara que las
pretensiones del presente artículo son limitadas, no pretende haber resuelto un
problema tan complejo en tan pocas páginas y con tan pocos elementos. La idea
mas bien, es mostrar que se puede encontrar una solución simple y elegante a un
problema en apariencia muy complicado. En todo caso, el texto tiene un
indudable valor didáctico.





Hay que dar crédito a la
Wikipedia en inglés por la definición y comprensión de los términos relativos a
los hipercubos, especialmente cuando la dimensión es mayor a cuatro. También se
le da crédito por corroborar que los cálculos hechos aquí son correctos, puesto
que coinciden con los que indica la citada fuente en diversos artículos sobre
los hipercubos.






 





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