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Sobre el teorema de Arrow

13 Mayo 2012 - 18:15:46


1.Sobre la aplicación de métodos de votación o decisión formal.

Si se ha agotado el proceso decisorio, recorriendo todos los pasos anteriores, llegaremos a un conjunto de reglas elegibles, al haber eliminado opciones a través de los principios de la justicia social y los criterios del mismo proceso deliberativo. Es casi seguro que aún así sobrevivirán varias reglas admisibles para cada caso, por lo cual aún no hemos encontrado una solución específica. Tampoco es necesario que la justicia social resuelva todos los problemas: ha realizado buena parte de su tarea al delimitar entre reglas justas e injustas. A pesar de todo, tal vez se requiera de utilizar un método de votación o decisión formal para escoger entre reglas alternativas que sean igualmente buenas o justas.

Podría haber una solución simple. Una vez agotada la sustancia de la discusión, se puede proponer que la última etapa se defina por la suerte, por ejemplo, colocando las opciones en una urna, y dando como ganadora a la opción que se extraiga primero de la urna. Si las personas involucradas están de acuerdo con este método, tendremos una decisión formalmente justa. Otra manera simple de hacerlo es que cada quien vote por una opción, y la opción que tenga más votos a favor sea la ganadora: ésta es la famosa regla de mayoría de la democracia, que tampoco se puede subestimar porque muchos le atribuyen la peculiar propiedad de maximizar la libertad de los participantes con respecto a métodos de votación alternativos, aunque posiblemente la mayor ventaja de la regla de mayoría es que define un procedimiento simple, que todos están acostumbrados a seguir.

Nuestra intención ahora es proponer un método de votación o de decisión formal que cumple varias características deseables. De nuevo, no pretendemos que sea siempre el mejor o que sea un gran descubrimiento de nuestra parte, sino que sirva como ejemplo de que se pueden utilizar métodos más finos que la suerte o la regla de mayoría, y que cumplen con muchas propiedades deseables, sin exponerse a las fuertes críticas que se hacen a dichos métodos.

El método fue definido formalmente desde 1770, y se le conoce con el nombre de “método de Borda”. Su aplicación es muy simple, consiste en que si se tienen los ordenamientos de cada individuo respecto a n opciones a elegir, se asignen n puntos a la primera opción de cada individuo, n-1 a la segunda opción, y así sucesivamente hasta llegar a la opción menos deseable de cada individuo, que recibirá 1 punto. Luego se suman los puntos totales y se obtiene el puntaje de Borda. La opción con más puntos es la opción socialmente ganadora, la segunda en puntaje la que ocupa el segundo lugar, hasta llegar a la opción con menos puntaje que obtendría el último lugar, conformándose con ello un ordenamiento social completo.

La primera característica deseable del método es que realiza la cuantificación sin necesidad de recurrir a unidades de utilidad o satisfacción. En efecto, el método es completamente ordinal, puesto que el resultado dependerá de los órdenes de preferencia individuales. Así que se evita el serio problema de las unidades de medida.

La segunda propiedad es que todos los individuos cuentan exactamente igual, puesto que tienen la misma cantidad de votos. Así que se respeta la igualdad de los participantes.

La tercera propiedad es muy peculiar: el método no requiere de comparaciones interpersonales de preferencias, es independiente de la intensidad de las preferencias de cada uno. Al mismo tiempo que se conserva la riqueza de información que brindan los ordenamientos individuales, puesto que generan una escala de comparación entre las opciones, no se requiere de comparar intensidades. Muchos teóricos cometen el error de pensar que las comparaciones interpersonales requieren de algún estándar cuestionable, y por tanto, llegan fácilmente a la conclusión de que no hay ningún método práctico que supere este problema, especialmente relevante en la cuestión de la construcción de los ordenamientos morales o de justicia. Para ser más claro: no es que el método de Borda esté libre de críticas, sino que la crítica basada en las comparaciones interpersonales está fuera de lugar en este caso.

La crítica más precisa en contra del método de Borda es que envuelve algún grado de arbitrariedad, por consiguiente, algunos participantes podrían decir que prefieren otro método de votación y la cuestión se volvería indecidible. La respuesta a la crítica es que no existe ningún método que esté libre de arbitrariedad, por lo cual éste es un defecto de los sistemas de votación en general, y no del método de Borda en particular.

En contrapartida, el método de Borda cumple con todos los requisitos razonables de una regla de votación, de acuerdo al Teorema de Arrow. Dicho teorema señala que es imposible construir un ordenamiento social a partir de los individuales utilizando una regla de votación que cumpla con las siguientes condiciones de forma simultánea: racionalidad colectiva, principio de Pareto, ausencia de dictadura e independencia de las opciones improcedentes.[1]

Las condiciones parecen inocentes a simple vista. La primera, de racionalidad colectiva, se refiere a que para cualquier conjunto de ordenamientos individuales, la elección social se puede derivar de dichos ordenamientos, en otras palabras, que la elección social tiene la misma estructura que los ordenamientos individuales (siempre se puede decir si la regla R1 es preferible o indiferente a la regla R2, además de que se cumple la transitividad, esto es, si la R1 es preferida a la R2, y la R2 a la R3, entonces la R1 es preferida a la R3).

El principio de Pareto señala que si todos los individuos prefieren R1 a R2, entonces R1 debe ser socialmente preferida a R2. La ausencia de dictadura impide que un individuo pueda ser socialmente decisivo con independencia de los ordenamientos de los demás. Finalmente, las opciones improcedentes, adecuadamente interpretadas, señalan que las decisiones sociales deben coincidir con las comparaciones realizadas entre pares de alternativas, esto es, no deben ser distorsionadas por la existencia de otras alternativas más que las dos que se estén considerando.

Todo método de votación está sujeto al Teorema de Arrow, por tanto, todos son defectuosos. Pero hay diferentes tipos de defectos: si logramos mostrar que el método de Borda cumple con todas las condiciones menos una, y además, esa última condición no es racionalmente defendible, habremos completado nuestra tarea en la defensa del método de Borda.

2. Defendiendo el método de Borda contra el Teorema de Arrow.

Ahora bien, el método de Borda cumple con las tres primeras condiciones del teorema de Arrow. La racionalidad colectiva queda asegurada porque los puntos se obtienen de los ordenamientos individuales, y con ello se garantiza la obtención del ordenamiento social, y que éste sea transitivo. La condición de Pareto se cumple porque si una regla puntúa mejor que otra en todos los ordenamientos individuales, entonces puntúa mejor en el ordenamiento social. Por fin, la ausencia de dictadura se cumple porque el sistema de puntos asegura la igualdad de los participantes, y por tanto, nadie puede decidir socialmente con independencia de los demás.[2]

Resta mostrar que la cuarta condición, la independencia de las opciones improcedentes, no es razonablemente defendible. Los argumentos correspondientes, un poco más complicados, se incluyen en el Apéndice A.

Por tanto, el método de Borda cumple todas las condiciones razonables del Teorema de Arrow y, si bien, probablemente no sea el único existente, ni esté libre de toda debilidad, es un método lo suficientemente robusto como para ser considerado razonable. Ahora bien, si los individuos coinciden en aceptar el método de Borda, u otro con propiedades similares, como el adecuado para realizar el ordenamiento social de las reglas, podremos obtener decisiones socialmente justas y razonablemente precisas. Ésta es una defensa suficiente de los métodos formales para generar justicia social, que complementa un esquema adecuado para llevar la justicia social a la práctica, a través de la deliberación sustantiva.

3. Desde las reglas de justicia hasta las decisiones políticas.

Hasta ahora hemos estado hablando de reglas morales o de justicia que se aplican sin necesidad de coerción, esto es, son aceptadas como tales porque son razonables y la única presión para su cumplimiento es la fuerza con que se exige el cumplimiento de los acuerdos. Ante el incumplimiento se puede tener un sentimiento de vergüenza, como cuando no se paga una deuda, o bien, los mismos individuos pueden penalizar al infractor haciendo evidente su falta de moralidad. No obstante, cuando los individuos se sienten tentados a romper con una regla moral o de justicia para seguir sus propios fines personales, se aprecia con claridad la debilidad de la presión moral, puesto que no se puede forzar a nadie al cumplimiento.

Como hemos visto en la definición de justicia social, la frontera entre las reglas morales o de justicia y las decisiones políticas es muy fina. Por ello, aunque tengamos claras las reglas de justicia que se aplican en una dada sociedad, conviene asegurarlas forzando su cumplimiento a través de las decisiones políticas coercitivas o las leyes en general. Esto genera nuevos problemas.

Supongamos que ya hay una regla existente que está fortalecida por una ley o decisión política. Ésta es la regla vigente X. Ahora bien, se propone a través de la deliberación que la regla existente debería ser sustituida por la regla R que se considera más justa.

Empecemos por el caso más simple. La nueva regla recibe un apoyo unánime y puede asegurar que generará un beneficio social significativo con respecto a la regla existente. Entonces es claro que la nueva regla puede sustituir a la regla existente prácticamente sin ningún costo, y que sería irracional el no realizar la sustitución. Podrían darse, incluso en este caso extremo, algunos costos propios del proceso de deliberación, por el mismo costo de deliberar y también, porque habría algunos costos de negociación o de regateo, esto es, en el proceso de ponerse de acuerdo los individuos por lo general tienen que modificar sus puntos de vista y ceder en algunas de sus pretensiones. Al conjunto de estos costos los llamaremos “costos de deliberación”. También podría haber costos en la implementación de la nueva regla. En todo caso, hablando generalmente, tales costos serán seguramente menores que los beneficios sociales colectivos que se obtienen de aplicar la nueva ley o política y por tanto podrán ser ignorados.

Consideremos ahora que la nueva ley no recibe un apoyo unánime. En la medida que una gran mayoría la apoye y que los beneficios sociales netos sigan siendo significativos, la situación sigue siendo básicamente la misma que la anterior. Hay que tomar nota, no obstante, de que aparecen nuevos costos debidos a que la implementación de la ley genera perjuicios sobre los ciudadanos que no están de acuerdo con la nueva ley o que podrían ser perjudicados por ella, y sin embargo, se ven obligados a seguirla por la coerción legal. Estos costos pueden ser llamados “costos de implementación”.

El asunto se complica bastante cuando ya no es una gran mayoría la que apoya la nueva ley, o bien, cuando los perjudicados reciben daños o perjuicios significativos. Así, aunque exista un beneficio colectivo neto al aplicar la nueva ley, éste tiene que ser comparado con los costos de deliberación y los costos de implementación, que en este caso sí son significativos. Además, puesto que los beneficios pueden recaer en personas o grupos diferentes de los afectados, ya no es claro que socialmente convenga implantar la nueva ley puesto que nos vemos obligados a hacer comparaciones interpersonales, incluida la intensidad con que cada quien es afectado.

La regla de mayoría de la democracia resulta muy efectiva para resolver estos conflictos, puesto que basta con que una mayoría apoye la nueva ley para que ésta sea llevada a la práctica. El problema es que la efectividad de la regla de mayoría encubre que se está cayendo en graves costos de implementación, dado que se está forzando a gran cantidad de individuos o grupos a que sigan la regla que apoya la mayoría. En la práctica esto puede resultar aún peor, puesto que la mayoría puede ser un grupo identificable, que entonces usará el arma de la mayoría para mantener a las minorías bajo su voluntad. Lo que está pasando aquí es que se están ignorando los costos de implementación, que en estos casos pueden ser muy altos, por lo que es posible que se estén tomando decisiones políticas irrazonables, puesto que sus beneficios colectivos son por lo general menores a sus costos.

Una forma de reducir los costos de implementación es exigir una mayoría calificada para tomar las decisiones. En la medida que esto implica considerar los costos de implementación con más seriedad se pueden reducir los costos de las políticas públicas, aunque esto se logra a cambio de hacer la toma de decisiones más difícil y menos efectiva, incrementando los costos de decisión. De acuerdo con Buchanan y Tullock, en realidad, es muy difícil definir una regla adecuada para la toma de decisiones políticas, puesto que una vez que tomamos cuenta que la mayoría no es la mejor alternativa, tampoco podemos decir con precisión cuál sería la mejor regla para cada caso. En la práctica no podemos saber cuál es el porcentaje p* de votantes que se requieren para minimizar los costos de decisión e implementación, y tampoco podemos estar seguros de que éstos serán menores que los beneficios sociales colectivos.[3]

En realidad, aquí se trata de un problema de comparación de intereses insoluble, puesto que aunque supiéramos cuál es la mejor regla para un caso específico, no es válido comparar los beneficios netos colectivos con los perjuicios que se están aplicando a algunos ciudadanos, puesto que uno es un beneficio social, y el otro es un perjuicio individual o grupal. Por otro lado, si se utiliza el método de votación de Borda, se reducen los costos de implementación al no responder automáticamente a las mayorías, y tomar en cuenta la intensidad de las elecciones sin necesidad de hacer comparaciones interpersonales arbitrarias, no obstante, tampoco se puede asegurar que se escoja la opción más justa[4].

Así que llegamos a la conclusión de que las decisiones políticas no pueden, por lo general, asegurarnos que se obtendrá un beneficio neto colectivo, excepto en casos de unanimidad.

Ésta es una conclusión muy negativa, no obstante, al comparar con el enfoque de la justicia social que aquí se ha defendido, tenemos la posibilidad de usar el resultado en nuestro favor. Así, la deliberación podría defenderse como el sistema más adecuado para llevar a cabo decisiones de carácter social, respetando principios de justicia. En la medida que la deliberación nos acerca a la unanimidad y la consideración de los intereses de los demás, escaparía a las críticas de las decisiones políticas coercitivas. Esto lo logra a través de un proceso que responde a los principios de justicia y que respeta criterios razonables para el proceso deliberativo, tal como se muestra en los apartados 2 y 3 anteriores.

El salto desde la teoría a la práctica puede resultar difícil. Si bien hemos mostrado las ventajas del método de votación de Borda, para llevarnos a la construcción de un orden social de preferencias, esto no asegura que en la práctica sea la mejor alternativa. Podríamos darle una mayor solidez si escogemos adecuadamente el tema y el contexto de la decisión, además de incluir sólo las alternativas relevantes. Bajo tales condiciones el método de Borda, o alguno similar, puede ayudar a  resolver cuestiones complejas y prácticas sobre la decisión social, cumpliendo con condiciones razonables. Esta consideración es importante puesto que muchos ven el esquema de la elección social como limitado a su papel teórico, no obstante, aquí hemos mostrado que tiene buenas posibilidades de aplicación práctica.

El esquema de Gerald Gaus entra, en este aspecto, en fuerte contraste con el nuestro. En su empeño por brindarle un mayor realismo a su teoría moral, sostiene que la moral existente tiene mayor fuerza que la teórica, puesto que se ha conformado en un proceso histórico que le brinda una especial solidez: la gente se acostumbra a seguir ciertas reglas, y ésta realidad de existencia de las reglas es la que debe preponderar.

Veamos cómo esto puede llevarnos a serios engaños siguiendo un ejemplo que el propio Gaus presenta. Supongamos que la sociedad se encuentra en equilibrio en una regla moral, llamada X*, pero existe otra regla llamada Y,  en la que la gente estaría de acuerdo porque es Pareto superior, esto es, brinda un beneficio social neto para todos por separado. Entonces la gente escogería por un proceso político a la regla Y sobre la X, llevándonos a un equilibrio superior al original. De hecho, sería irracional el no ubicarse en la posición superior según los datos que tenemos sobre el problema, así que aquí el proceso político hace bien su tarea puesto que tenemos una virtual unanimidad y un beneficio colectivo asegurado, tanto a nivel social, como a nivel individual. Con ello sería factible salir de un equilibrio moral hacia un equilibrio político superior. Ahora bien, continúa Gaus, si hay una regla tal como Z, que sería apoyada por una mayoría política, a pesar de que sólo beneficia a un grupo de la sociedad, mientras perjudica a otro, también la legislación permitiría este cambio, sacándonos del equilibrio moral X original, y llevándonos a una posición inferior puesto que no sería conveniente para todos. En consecuencia, concluye Gaus: “Como el proceso político es un modo imperfecto para tratar con el equilibrio moral, un equilibrio moral existente…debe ser respetado por el proceso político”. En otras palabras, el equilibrio moral tiene prioridad sobre el equilibrio político.[5]

Tengo tres objeciones importantes contra este análisis de Gaus. Primero, el equilibrio moral existente no es un punto de partida correcto, puesto que no puede darnos seguridad que se esté generando un beneficio social colectivo. Por ello, no tiene sentido comparar directamente el equilibrio moral existente contra una norma que brinda o no beneficios respecto al estado actual existente. En otras palabras, Gaus supone implícitamente que la regla moral existente es una buena regla, o inclusive, parece estarla confundiendo con una regla de punto de partida en el sentido de que no puede haber personas que sean perjudicadas por ella. Sólo este punto de vista ventajoso permite asegurar que la decisión política puede ser dañina con respecto a la posición moral existente, de otra manera, la posición moral original puede ser inferior a la decisión política. En síntesis, no se puede presumir que la regla moral existente esté en el conjunto social elegible tal como el mismo Gaus lo define: hay una confusión entre el enfoque teórico y el enfoque práctico.

Segundo, la posibilidad de que se pase de un equilibrio moral existente a un equilibrio político inferior es dependiente de la aplicación de la regla de mayoría. Lo que queda olvidado en el camino es precisamente el papel de la deliberación. Una deliberación bien llevada puede reducir los costos que se aplican los individuos entre sí, tanto porque sus opiniones cambian durante el proceso al aparecer nuevas razones y datos que promueven el acuerdo, como porque se realiza un proceso de negociación y regateo que hace más atractiva una regla dada o modifica la regla a favor del consenso.[6] Gaus no puede ver esto, porque su enfoque teórico no permite que las razones de cada quien se modifiquen y considera las reglas a discutir como dadas, esto no sería un problema metodológico serio si luego no se comparara esta situación con la supuesta prioridad o superioridad de la moral existente. Ahora bien, en la medida que las reglas a discutir se aproximan al consenso, los costos de la implementación política se reducen. En cuanto a los costos de deliberación, resultan relativos a la importancia de la cuestión a decidir y a las diferencias propias que tienen los individuos y grupos sociales, no se pueden atribuir a la política por sí misma, sino que son los propios del contexto de cada problema.

Tercero, las decisiones políticas son a menudo necesarias para asegurar el respeto de las reglas, puesto que las sanciones morales pueden ser inefectivas. Gaus conceptualiza a las reglas morales como autoritativas, igualando con ello la fuerza de su cumplimiento con el de una decisión política. Todos sabemos que es más fácil librarse de una obligación moral que de una obligación política: si mantenemos cada tipo de regla dentro del ámbito que le corresponde, no habrá conflicto entre ellas, ni surgirá ningún problema peculiar, pero si pretendemos aplicarlas por igual, sobre las mismas realidades, estaremos construyendo un problema artificial.

Para ser más claro: por supuesto que las decisiones políticas pueden ser dañinas e injustas, pero los principios de justicia, y los procesos deliberativos, son precisamente los medios para controlar los abusos y por ello son indispensables en la construcción de un Estado constitucional, sobre todo en un contexto realista, pluralista y liberal.

Para mí el enfoque de Gaus es de carácter limitado. En su empeño por defender las reglas morales existentes demerita a la deliberación: creo que esto es en definitiva un error. Si recuperamos el papel teórico de la deliberación, y lo enlazamos con la práctica, podremos validar o devalidar las normas existentes sin violar las reglas de la racionalidad. Cierto que los cambios sociales se deben hacer con cuidado, pero si podemos identificar teóricamente reglas de justicia que son superiores a las existentes, no deberíamos dudar en intentar aplicarlas a la realidad: los principios de justicia social, los procesos deliberativos y las reglas de votación como la de Borda, son los instrumentos adecuados para tal tarea. Darle preponderancia a la moral existente es demeritar la teoría: no creo que esa sea una posición razonable, y ni siquiera una posición compartida por la mayoría de los filósofos y científicos sociales.

      

APÉNDICE

 

El objetivo de este apéndice es mostrar que la condición de independencia de las opciones improcedentes de Arrow no es una exigencia razonablemente defendible. El ambiente del problema consiste en la existencia de n individuos con sus respectivos órdenes de preferencia entre m opciones, las cuales en el contexto que nos interesa, se identifican con las reglas morales o de justicia. Las preferencias deberían reflejar los valores de cada persona, de manera que para cada conjunto de valores personales, se obtendría un ordenamiento individual de las reglas morales o de justicia. Un mejor lugar en el orden de preferencias es resultado de un mejor cumplimiento de los valores. La cuestión es derivar un ordenamiento social de preferencias a partir de los ordenamientos individuales.

Sea el siguiente conjunto de ordenamientos individuales, cuando hay 6 individuos y 3 opciones o reglas morales a considerar, abreviadas por V (verde), R (roja) y A (azul):

 

     1   2   3   4   5   6

1    V   V   R   A   R   A

2   R   A   V   V   A   R

3   A   R   A   R   V   V

 

En cada columna tenemos un individuo y, bajando por la columna a través de las líneas, el orden en que escoge las alternativas V, R y A. Por ejemplo, el individuo 2 indica, en su ordenamiento, que su primera preferencia es V, su segunda preferencia es A, y su tercera preferencia es R.

Este conjunto de ordenamientos es un buen punto de partida dadas las características que posee. Si derivamos el orden social de preferencias a través del sistema de votación de Borda, podremos ver claramente que las 3 opciones son socialmente indiferentes.  Así que es posible construir un orden social a través de los 6 ordenamientos, y ese orden social señala que todas las opciones son indiferentes. En este sentido no se puede tomar una decisión social, pero es fácil ver que si incluyéramos un séptimo individuo, éste rompería necesariamente el empate y nos daría un resultado definitivo. Por analogía con una competencia deportiva, es como si las rondas eliminatorias hubieran terminado empatadas para todos los equipos, y se realizara una nueva ronda, la séptima, para definir el vencedor. Por consiguiente, el ordenamiento social es perfectamente derivable de los ordenamientos individuales.

Mantengamos el ordenamiento de los 6 individuos originales y su empate en el ordenamiento social. Se puede demostrar que este ordenamiento particular satisface la condición de independencia de las opciones irrelevantes de Arrow. Basta con probar que el ordenamiento social es consistente con todas las opciones entre pares.

Consideremos el primer par, esto es, las opciones verde y roja. Los individuos 1, 2 y 4, como se ve en las respectivas columnas, prefieren la verde a la roja, mientras que los individuos 3, 5 y 6 prefieren la roja a la verde. Por tanto, el empate social se mantiene entre dichas opciones, sin que la opción azul afecte los resultados.

Continuamos con el segundo par, esto es, las opciones verde y azul. Los individuos 1, 2 y 3, prefieren la verde a la azul, y los individuos 4, 5 y 6, tienen la preferencia contraria. El empate social se mantiene entre dichas opciones, sin que la opción roja afecte los resultados.

En cuanto al tercer par, las opciones roja y azul, los individuos 1, 3 y 5 prefieren la roja a la azul, mientras que los individuos 2, 4 y 6, prefieren la azul a la roja. El empate social se mantiene también entre estas opciones, sin que la opción verde afecte los resultados.

La conclusión es que, en el contexto o ambiente de este ordenamiento, la condición de independencia de las opciones irrelevantes de Arrow se cumple. Así que nuestro ejemplo es un buen punto de partida para seguir estudiando otros ambientes que puedan o no violar dicha condición.

Una aclaración muy pertinente es que no es correcto entender, equivocadamente, que aquí se está violando o cuestionando el Teorema de  Arrow como un todo, puesto que éste establece que no se puede construir una regla social que cumpla todos los criterios de Arrow, considerando todos los posibles ordenamientos. En efecto, si reconstruimos la tabla anterior podemos encontrar por lo menos un ordenamiento en que se viole la condición de independencia, eso no es más que una instancia más del Teorema de Arrow, que no tiene prácticamente nada que ver con nuestro argumento actual, que sólo sostiene que el ordenamiento particular de la tabla anterior cumple con la condición de independencia.

Por consiguiente, nuestro ordenamiento cumple con la condición de independencia de Arrow en este ambiente particular. Ahora bien, introducimos una nueva opción, que llamaremos “blanca” y denotaremos por B, para explorar qué consecuencias posibles tiene un nuevo ambiente sobre las propiedades de nuestro ordenamiento original.

Vamos a considerar prácticamente todas las opciones posibles, pero primero utilizaremos aquellas que mejor preserven la condición de independencia de Arrow. En este sentido, si vemos el ordenamiento original, todas las opciones ocupan dos primeros lugares en los ordenamientos individuales, y también dos últimos lugares. Por ello, si buscamos que la nueva opción blanca tenga un impacto mínimo sobre las demás opciones, convendría colocarla en primer lugar en dos ordenamientos, y en último lugar en otros dos. Esto lo hacemos, respectivamente, en los dos primeros y los dos últimos individuos, quedando por resolver los casos de los individuos 3 y 4. Consideremos, primero, el caso siguiente, en que tanto el individuo 3 como el 4, colocan la opción blanca en segundo lugar:

 

     1   2   3   4   5   6

1    B   B   R   A   R   A

2   V   V   B   B   A   R

3   R   A   V   V   V   V

4   A   R   A   R   B   B

Siendo consistentes, aplicamos el método de votación de Borda. El resultado es que B es la opción socialmente ganadora con un total de 16 puntos. El segundo lugar lo ocupan las opciones R y A, con 15 puntos, y el último lugar la opción V con 14 puntos.

La primera observación es que la votación sigue siendo muy pareja, por lo que se puede decir que se preserva bastante bien la integridad del ordenamiento original.  La segunda observación es que el resultado social es claro, actuando la nueva opción B como instrumento para romper los empates, particularmente entre las otras 3 opciones. Por último,  pero no menos importante, la nueva opción B es la socialmente ganadora.

La condición de independencia de Arrow no se sostiene, puesto que la inclusión de la opción B modifica el ordenamiento social, que antes mostraba un empate, a pesar de que las relaciones entre los pares del resto de las opciones se mantienen iguales que al principio.

Modifiquemos de nuevo el ordenamiento para probar más posibilidades:

 

     1   2   3   4   5   6

1    B   B   R   A   R   A

2   V   V   V   V   A   R

3   R   A   B   B   V   V

4   A   R   A   R   B   B

 

Ahora los individuos 3 y 4 consideran a B como su tercera opción. Aplicamos de nuevo el sistema de Borda y obtenemos el siguiente ordenamiento social: V tiene 16 puntos, R y A continúan empatados con 15 puntos, y B tiene 14 puntos. Ahora la opción V es la socialmente ganadora, y B pasa a ocupar el último lugar. El ordenamiento social se ha modificado con la inclusión de la opción B, a pesar de que los ordenamientos entre pares del resto de las opciones se mantienen empatados igual que al principio, así que la condición de independencia de Arrow sigue sin cumplirse.

Esto sugiere que la independencia se puede mantener cuando la nueva opción queda empatada con las anteriores. Veamos un ejemplo:

 

      1   2   3   4   5   6

1    B   B   R   A   R   A

2    V   V   B   V   A   R

3    R   A   V   B   V   V

4    A   R   A   R   B   B

 

En efecto, en este ejemplo la condición de independencia se cumple, puesto que el sistema de Borda nos da un empate a 15 puntos entre todas las opciones, y el empate se repite con cualquier combinación de retiro de las alternativas. Puesto que el orden social depende puramente de las comparaciones entre pares de alternativas, que están en este caso todos empatados, la condición de Arrow se cumple. El problema que se presenta en este caso radica en que la nueva opción B, supuestamente irrelevante, resulta igual de fuerte que las demás, por lo cual el cumplimiento de la condición de Arrow depende de que dispongamos de nuevas opciones relevantes, en vez de irrelevantes.

Otra cuestión a resaltar es que no todos los ordenamientos en que la nueva opción recibe el puntaje medio de Borda cumplen la condición de independencia. Si en el último ordenamiento remplazamos en el cuarto individuo la opción B por la R, y en el quinto individuo, la opción B por la V, el ordenamiento social se verá modificado a favor de R y en contra de V, a pesar de que la opción B sigue estando en el medio, y no se han realizado modificaciones entre los pares originales. Por tanto la condición de independencia se puede violar, en algunos casos, aunque la nueva opción obtenga los 15 puntos base del sistema de Borda. El resultado no depende sólo del puntaje adecuado, sino de que las alternativas modificadas mantengan un cierto equilibrio que no rompa el empate de las 3 opciones originales.

Continuando con nuestras observaciones, ya sabemos que cualquier ordenamiento en que la nueva opción reciba 16 o 17 puntos, romperá el equilibrio original y generará la violación de la condición de independencia. El siguiente paso es revisar los ordenamientos en que B reciba 18 puntos. El caso ideal sería el siguiente:

 

     1   2   3   4   5   6

1    V   V   R   A   R   A

2    B   B   B   B   B   B

3    R   A   V   V   A   R

4    A   R   A   R   V   V

 

La nueva alternativa ocupa el segundo lugar en los ordenamientos de todos los individuos. Por el sistema de Borda recibe 18 puntos, y no distorsiona las comparaciones entre pares de alternativas, por lo que las demás opciones A, R y V siguen empatadas. La condición de independencia de Arrow se cumple por segunda vez en nuestra cadena de ejemplos. No obstante, ahora la nueva alternativa B resulta ser la ganadora, por lo que no sólo es relevante, sino que domina a todas las demás en las comparaciones entre pares. Podemos decir que, en este caso, el problema era que se estaba omitiendo una alternativa relevante, por lo que era irracional realizar el ordenamiento social sin la consideración de la alternativa B.

Supongamos que se intercambia en el ordenamiento del primer individuo la alternativa B por la R, y lo mismo hacemos en el segundo entre la alternativa B y la V. De acuerdo al sistema de Borda la alternativa B sigue siendo la dominante con sus 18 puntos que no se han modificado, no obstante, la condición de independencia de Arrow se ha roto porque hemos cambiado los puntajes de las otras alternativas con los intercambios, de tal manera que ahora R domina sobre V, a pesar de que las comparaciones entre pares no se han modificado. De nuevo hemos mostrado que el mantenimiento de la condición de Arrow no sólo depende del puntaje adecuado para la nueva opción B, sino de que no se rompa el delicado equilibrio entre las opciones originales.

La siguiente oportunidad para que se mantenga la condición de Arrow sería que la opción B recibiera un total de 21 puntos de acuerdo al sistema de Borda. El caso ideal lo vemos a continuación:

 

 

 

 

      1   2   3   4   5   6

1    B   V   B   A   R   B

2    V   B   R   B   B   A

3    R   A   V   V   A   R

4    A   R   A   R   V   V

 

La condición de independencia se cumple por tercera vez, no obstante hay que ser cuidadoso en los intercambios para mantener el equilibrio entre las opciones restantes, de tal manera que todas obtengan el primer lugar una sola vez. Se sigue sosteniendo nuestra observación de que el mantenimiento de la condición de Arrow depende del puntaje adecuado para la opción B, y de que no se rompa el delicado equilibrio entre las opciones originales.

La siguiente configuración es importante puesto que corresponde con el caso en que la opción B es Pareto dominante sobre todas las demás:

 

      1   2   3   4   5   6

1    B   B   B   B   B   B

2    V   V   R   A   R   A

3    R   A   V   V   A   R

4    A   R   A   R   V   V

 

Como la nueva opción B es dominante en todos los ordenamientos individuales, es automáticamente la opción preferida en el orden social con independencia del sistema de votación que utilicemos. Esto es sólo un ejemplo de cumplimiento de la condición de Pareto, y la cuestión de que se mantenga la condición de independencia de Arrow aparece como incidental.  Vale mencionar que en este caso la opción supuestamente irrelevante no sólo es relevante, sino completa y claramente dominante sobre las demás.

Los siguientes casos pueden ser construidos por analogía con los ya estudiados. Por ejemplo, si la opción B ocupa el tercer lugar en todos los ordenamientos individuales, obtendrá un puntaje total de 12 sin afectar los ordenamientos entre pares del resto de las opciones. Por tanto, la condición de independencia se cumple. Algo similar ocurre cuando la opción B es la última en los individuos 1, 2 y 5, y la tercera en los individuos 3, 4 y 6, obteniendo un total de 9 puntos, sin distorsionar los ordenamientos entre pares del resto de las opciones. Se observa, de nuevo, que no sólo se requiere del puntaje adecuado, sino del mantenimiento del equilibrio entre las opciones A, R y V originales.  En estos casos la opción B es la última en el ordenamiento social correspondiente, así que en cierto modo se le podría llamar irrelevante, no obstante, si nos interesa todo el ordenamiento social y no sólo la opción ganadora, no podríamos decir que la opción B sea completamente irrelevante, por ejemplo, cuando ocupa el tercer lugar en todos los ordenamientos, cabría considerar racionalmente que el ordenamiento social también la colocara en el tercer lugar, al fin, la opción B no es el último lugar en el ordenamiento de nadie en particular.

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